Тринадцать поучительных упражнений по системам счислений

Тринадцать поучительных упражнений по системам счислений
Знаменский В.С.

Данный набор упражнений, предназначен для того, чтобы дать представление о системах счисления, причем, как предполагает автор, эти упражнения приведут учащегося к личным небольшим открытиям, если учащийся будет сопоставлять полученные решения. Хотя некоторые моменты теории имеют объяснение в тексте, предполагается, что ученик уже получил формальное представление об операциях, которые необходимо выполнить для решения задач, например для перевода чисел из одной системы счисления в другую. Упражнения должны превратить формальные знания в понимание предмета. Для этого нужно решать задачи разных типов, и в данном наборе упражнений две или большее количество подобных друг другу задач приводятся для того, чтобы учащийся, сопоставив их решения, получил наглядную картину, раскрывающую некоторую закономерность. Поэтому при выполнении упражнений не нужно пренебрегать простыми, на первый взгляд, задачами, а доводить решение до конца, анализируя получаемые ответы.
Упражнениями можно пользоваться при занятиях как индивидуально, так и с преподавателем, который будет проверять правильный ход решения задач.
Данные упражнения знакомят с системами счисления. Мы будем придерживаться такого порядка, при обозначении чисел, что признак системы счисления внизу справа от числа для десятичной системы счисления не ставится, а для остальных - ставится. Рекомендуем применять принятые в русском языке названия чисел только к десятичной системе счисления, т.е. 10 десятичное - это “десять”. Числа, представленные в других системах счисления, рекомендуем называть, просто перечисляя цифры, стоящие в числе, слева направо, например 108 называть "один ноль в восьмеричной системе счисления"
Чтобы приступить к пониманию систем счисления, нужно четко осознать различие между числом и цифрой. Запись любого числа в форме с фиксированной запятой состоит из цифр и одной запятой. В десятичной системе для записи чисел используются 10 цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Числа в n-ричной системе счисления записываются с помощью n цифр. В n-ричной системе счисления число “n” носит название основания системы счисления. В 16-ричной системе счисления для получения 16 цифр кроме традиционных цифр используют первые буквы латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Каждой цифре сопоставляется ее числовое значение. Для традиционных десяти цифр числовое значение цифры и сама цифра обозначаются одинаковыми словами: ноль, один, два и т.д. Цифры A, B, C, D, E, F имеют числовые значения, выраженные в 10-ой системе счисления, соответственно как 10, 11, 12, 13, 14, 15. При написании числа запятая разделяет целую и дробную часть числа. Положение цифры в числе, относительно запятой, называется позицией. Позиция, находящаяся сразу слева от запятой нумеруется числом 0, а справа от запятой числом -1. Номера позиции возрастают на 1 при движении от цифры к цифре вдоль числа справа налево. Каждой позиции в числе можно сопоставить число, называемое весом позиции. Возьмите номер позиции как степень и возведите в эту степень основание системы счисление и получите вес позиции. Значение числа получается, как сумма величин, каждая из которых вычисляется умножением числового значения цифры, стоящей в числе на некоторой позиции, на вес этой позиции. Если к числу, которое выражается одной цифрой, имеющей максимальное, среди всех цифр данной системы счисления, значение, прибавить 1, то получится число, запись которого, независимо от системы счисления, выглядит как "10".
Рекомендации к выполнению упражнений:
1. Нужно делать все упражнения подряд, доводя решение до конца.
2. После получения решения, следует проанализировать, нельзя ли было получить решение более простым методом, чем был использован вначале.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Составить таблицу, показывающую, как записываются целые числа в различных системах счисления, с основаниями 10,2,3,8,16. В таблице показать натуральные числа, стоящие подряд от 1 до 16, затем числа 27,32,1023,1024.
2. Решите задачу "Найти двузначное число (состоящее из двух цифр) сумма цифр которого в два раза меньше самого числа" в различных системах счисления (по основанию 2,3,5,8,10,16).
3. Составить таблицу, показывающую, как записываются рациональные числа в форме с "фиксированной запятой" в различных системах счисления, с основанием 10,2,3,8,16. Рассчитать и поместить в таблицу следующие величины:
0.1, 0.2, 0.5, 0.15, 0.16, 0.27, 0.32, 0.1023, 0.1024, 1/3, 0.125, 0.0625,
4. Перевести число из 16-ой системы счисления в двоичную систему счисления.
1) 1996 , 2) 1A2B , 3)FFFF , 4) C87,543 , 5)D00,00E , 6) 110,101 .
01234567
100+10=1+10=2+10=3+10=4+10=5+10=6+10=7+10=
7 1+7=2+7=3+7=4+7=5+7=6+7=7+7=
6 2+6=3+6=4+6=5+6=6+6=
5 3+5=4+5=5+5=
4 4+4=

6. Составить таблицу сложения в 16-ой системе (В таблице все числа записаны в шестнадцатеричной системе)
56789ABCDEF
1 1+91+A1+B1+C1+D1+E1+F
2 2+82+92+A2+B2+C2+D2+E2+F
3 3+73+83+93+A3+B3+C3+D3+E3+F
4 4+64+74+84+94+A4+B4+C4+D4+E4+F
55+55+65+75+85+95+A5+B5+C5+D5+E5+F
6 6+66+76+86+96+A6+B6+C6+D6+E6+F
7 7+77+87+97+A7+B7+C7+D7+E7+F
8 8+88+98+A8+B8+C8+D8+E8+F
9 9+89+99+A9+B9+C9+D9+E9+F
A A+9A+AA+BA+CA+DA+EA+F
B B+AB+BB+CB+DB+EB+F
C C+BC+CC+DC+EC+F
D D+CD+DD+ED+F
E E+DE+EE+F
F F+EF+F


7. Выполните действия в 16-ричной системе счисления, пользуясь таблицами сложения, полученными к задачам 3,4 и правилами сложения "в столбец", известными Вам еще с начальной школы.
FFFF+1996-BAC

8. Выполните преобразования чисел последовательно из десятичной системы в 16-ричную, затем полученное 16-ричное число преобразуйте в двоичную систему счисления, полученное двоичное число преобразуйте в 8-ричную систему счисления, полученное 8-ричное число преобразуйте опять в десятичную систему. Записывайте для проверки преподавателем ход решения при перевода чисел из системы в систему. Результаты изобразите в таблице, со следующими заголовками столбцов:
"10-тичная ->", "16-ричная ->", "2-ичная ->", "8-ричная ->", "10-тичная"
В таблицу поместите следующие числа:
2, 8, 10, 16, 4, 64, 100, 256, 5, 65, 101, 257, 1024, 1025.

9. Выполните преобразования чисел последовательно из 16-ричной системы в 10-ичную. Затем полученное 10-ичное число преобразуйте в 8-ричную систему счисления. Полученное 8-ричное число преобразуйте в 2-ичную систему счисления. Полученное 2-ичное число преобразуйте опять в 16-ричную систему. Записывайте для проверки преподавателем ход решения при перевода чисел из системы в систему.
Результаты изобразите в таблице:
"16-ричная -> 10-тичная -> 8-ричная -> 2-ичная -> 16- ричная"
В таблицу поместите следующие числа:
F16 , FF16 , FFFF16 , 1016 , 10016 , 1000016.

10. Запишите в разных системах счисления с основанием (2,3,5,8,16) в точном виде, как число с фиксированной запятой с конечным числом цифр, или в виде периодической дроби результаты следующих простых арифметических действий:
1/2, 1/3, 1/5, 1/8, 1/16, 2/3, 3/5, 5/8, 1/9

11. Несложную периодическую дробь можно перевести в правильную дробь, поместив в знаменатель период, а в числитель число, полученное из цифр 9, взятых столько раз, сколько имеется цифр в периоде числа.
Примеры:
0,(3)=3/9=1/3
0,(15)=15/99=5/33
Тот же принцип верен для любой системы счисления, только вместо цифры 9 необходимо брать "максимальную" цифру системы счисления.
Примеры:
0,(01001)2 =010012 /111112 =9/63=1/7 8
0,(1F)16 =1F16 /FF16 =31/(162 -1)
0,(21)3 =213 /223 =7/8
Запишите в виде отношения двух натуральных чисел значения следующих периодических дробей, используя для записи сначала ту же систему счисления, в которой изображена сама периодическая дробь, затем десятичную систему счисления. Проверьте, нельзя ли упростить полученную правильную дробь.
0,(1)2 , 0,(10) 2, 0,(1)3 , 0,(10) 3 , 0,(1)5 ,0,(10) 5 , 0,(1)8, 0,(10) 8 ,0,(1) , 0,(10) , 0,(1)16 , 0,(10)16 , 0,(2)3, 0,(20) 3 , 0,(4)5 , 0,(40) 5,0,(7)8 , 0,(70)8 , 0,(9) , 0,(90) , 0,(F)16, 0,(F0) 16.

12. Уже в средней школе обучают: Чтобы перевести число, записанное большим количеством цифр, из двоичной системы счисления в восьмеричную систему, нужно сгруппировать подряд по три цифры, считая от запятой, отделяющую целую часть, и отдельно перевести двоичные числа, полученные из цифр каждой группы, в восьмеричные числа, каждое из которых выражается только одной восьмеричной цифрой. Записанные в том же порядке эти восьмеричные цифры образуют искомую восьмеричную запись числа. Можно ли подобрать похожие правила для перевода чисел из троичной системы в девятичную?

13. Используя правила умножения целых чисел “в столбик” возведите в квадрат шестнадцатеричное число, состоящее из 15 единиц: 11111111111111116, выполняя действия и получая результат в той же (шестнадцатеричной) системе счисления. Если Вы не знаете, как это сделать возведите в квадрат десятичное число: 111 111 111 выполняя действия в десятичной системе. Решение послужит Вам подсказкой к исходной задаче.
Опубликовано:17/01/2000
Автор:ВШБ
Читателей:2008

Оценка статьи: ОтвратительноУжасноПлохоСреднеХорошоПохвальноОтличноПревосходноПрекрасноВеликолепно! [Голосов: 7]



 
Новости В приморском национальном парке ученые
В приморском национальном парке ученые
На днях в объектив фотоловушки на территории нацпарка «Земля леопарда» попал леопард дальневосточный Leo 35M. Ученые между собой называют его Алексей. Специалисты уверяют, что животному на данный момент шестнадцать лет, а для этого хищника возраст приличный. Девять лет назад видели его в последний раз, но уже тогда леопард считался в возрасте,
Новости Рацион школьника: мультиварка или пароварка
Рацион школьника: мультиварка или пароварка
Подавляющее большинство родителей хотят, чтобы их дети, и особенно школьники, имели разнообразный рацион питания, состоящий из вкусных и полезных блюд. Однако для готовки таких рецептов требуется затратить большое количество времени и усилий. Однако, современные производители предлагают огромное количество разных вариантов кухонных приборов для облегчения быта. Так, к примеру, сейчас существует много бытовой техники, предназначенной для легкой и быстрой уборки, а также простого приготовления пищи. Но часто многие новинки во многом дублируют себя, и у хозяйки возникает вполне закономерный
Новости Российские ученые придумали, как
Российские ученые придумали, как
Появился новый способ, как можно на безопасном для нашей планеты расстоянии уничтожать угрожающие ей астероиды. Об этом сообщили ученые из госуниверситета города Томска. Они уверяют, что при помощи ядерного взрыва можно предостеречь Землю от любого летящего на нее небесного тела. Такой способ уже прошел тестирование и на сто процентов подтверждает
Новости Благоприятные улучшения для бинарных опционов
Благоприятные улучшения для бинарных опционов
Нередко в описаниях о бинарных опционах встречаются такие утверждения, что игрок биржи, который проиграл сделку после покупки опциона, теряет все деньги. Правда это или обман в этом можно убедиться на собственных ошибках. Все бесценные знания вы можете получить, когда будете изучать основные принципы торговли в Интернете на сайтах бинарных опционах, такого как fx-gold.net и многих других. Что нужно изучить для торговли опционами? На самом деле, как только бинарные опционы стали набирать свою известность в роли инструмента инвестирования, его основной принцип «куш или банкрот» стал
Химическая энциклопедия 1778-1781
1778-1781
К. Шееле открыл молибден, вольфрам: получил глицерин [CH(OH)(OH2OH)2 - бесцветная вязкая жидкость, неограниченно растворимая в воде и поглощающая влагу из воздуха, трехатомный спирт. Входит в состав
История вычислительной техники 1871 Бэббидж создал прототип аналитического устройства компьютера и печатающее устройство - принтер
1871 Бэббидж
Бэббидж создал прототип аналитического устройства компьютера и печатающее устройство - принтер.
Линия времени 1400 - ок. 1200 до н.э. Расцвет Микен, крупного центра ахейской культуры.
1400 - ок.
Микены расположены на Пелопоннесе, на полпути между Коринфом и Аргосом. Микенский холм был заселён с начала III тысячелетия до н. э. Город находился на плодородной равнине и имел доступ к воде реки
Крылатые слова Эзоповский язык
Эзоповский язык
Так называют язык иносказаний, намеков; замаскированный способ выражения своих мыслей. Выражение связанно с именем древнегреческого баснописца Эзопа. По преданию, Эзоп был уроженцем Малой Азии и жил
Это интересно! ПУЛЕМЕТЫ
ПУЛЕМЕТЫ
Ричард Гатлинг (1818-1903) был изобретателем из Северной Каролины (США). Во время гражданской войны в США (1861) он сконструировал автоматический пулемет с высокой скорострельностью. Десять патронов
Хочу все знать Состав минералов
Состав
Основные элементы, из которых состоят горные породы, называются минералами. Некоторые породы состоят всего лишь из одного минерала, но в состав большинства из них входит два или более минералов.