Тринадцать поучительных упражнений по системам счислений

Нравится Тринадцать поучительных упражнений по системам счислений
Знаменский В.С.

Данный набор упражнений, предназначен для того, чтобы дать представление о системах счисления, причем, как предполагает автор, эти упражнения приведут учащегося к личным небольшим открытиям, если учащийся будет сопоставлять полученные решения. Хотя некоторые моменты теории имеют объяснение в тексте, предполагается, что ученик уже получил формальное представление об операциях, которые необходимо выполнить для решения задач, например для перевода чисел из одной системы счисления в другую. Упражнения должны превратить формальные знания в понимание предмета. Для этого нужно решать задачи разных типов, и в данном наборе упражнений две или большее количество подобных друг другу задач приводятся для того, чтобы учащийся, сопоставив их решения, получил наглядную картину, раскрывающую некоторую закономерность. Поэтому при выполнении упражнений не нужно пренебрегать простыми, на первый взгляд, задачами, а доводить решение до конца, анализируя получаемые ответы.
Упражнениями можно пользоваться при занятиях как индивидуально, так и с преподавателем, который будет проверять правильный ход решения задач.
Данные упражнения знакомят с системами счисления. Мы будем придерживаться такого порядка, при обозначении чисел, что признак системы счисления внизу справа от числа для десятичной системы счисления не ставится, а для остальных - ставится. Рекомендуем применять принятые в русском языке названия чисел только к десятичной системе счисления, т.е. 10 десятичное - это “десять”. Числа, представленные в других системах счисления, рекомендуем называть, просто перечисляя цифры, стоящие в числе, слева направо, например 108 называть "один ноль в восьмеричной системе счисления"
Чтобы приступить к пониманию систем счисления, нужно четко осознать различие между числом и цифрой. Запись любого числа в форме с фиксированной запятой состоит из цифр и одной запятой. В десятичной системе для записи чисел используются 10 цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Числа в n-ричной системе счисления записываются с помощью n цифр. В n-ричной системе счисления число “n” носит название основания системы счисления. В 16-ричной системе счисления для получения 16 цифр кроме традиционных цифр используют первые буквы латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Каждой цифре сопоставляется ее числовое значение. Для традиционных десяти цифр числовое значение цифры и сама цифра обозначаются одинаковыми словами: ноль, один, два и т.д. Цифры A, B, C, D, E, F имеют числовые значения, выраженные в 10-ой системе счисления, соответственно как 10, 11, 12, 13, 14, 15. При написании числа запятая разделяет целую и дробную часть числа. Положение цифры в числе, относительно запятой, называется позицией. Позиция, находящаяся сразу слева от запятой нумеруется числом 0, а справа от запятой числом -1. Номера позиции возрастают на 1 при движении от цифры к цифре вдоль числа справа налево. Каждой позиции в числе можно сопоставить число, называемое весом позиции. Возьмите номер позиции как степень и возведите в эту степень основание системы счисление и получите вес позиции. Значение числа получается, как сумма величин, каждая из которых вычисляется умножением числового значения цифры, стоящей в числе на некоторой позиции, на вес этой позиции. Если к числу, которое выражается одной цифрой, имеющей максимальное, среди всех цифр данной системы счисления, значение, прибавить 1, то получится число, запись которого, независимо от системы счисления, выглядит как "10".
Рекомендации к выполнению упражнений:
1. Нужно делать все упражнения подряд, доводя решение до конца.
2. После получения решения, следует проанализировать, нельзя ли было получить решение более простым методом, чем был использован вначале.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Составить таблицу, показывающую, как записываются целые числа в различных системах счисления, с основаниями 10,2,3,8,16. В таблице показать натуральные числа, стоящие подряд от 1 до 16, затем числа 27,32,1023,1024.
2. Решите задачу "Найти двузначное число (состоящее из двух цифр) сумма цифр которого в два раза меньше самого числа" в различных системах счисления (по основанию 2,3,5,8,10,16).
3. Составить таблицу, показывающую, как записываются рациональные числа в форме с "фиксированной запятой" в различных системах счисления, с основанием 10,2,3,8,16. Рассчитать и поместить в таблицу следующие величины:
0.1, 0.2, 0.5, 0.15, 0.16, 0.27, 0.32, 0.1023, 0.1024, 1/3, 0.125, 0.0625,
4. Перевести число из 16-ой системы счисления в двоичную систему счисления.
1) 1996 , 2) 1A2B , 3)FFFF , 4) C87,543 , 5)D00,00E , 6) 110,101 .
01234567
100+10=1+10=2+10=3+10=4+10=5+10=6+10=7+10=
7 1+7=2+7=3+7=4+7=5+7=6+7=7+7=
6 2+6=3+6=4+6=5+6=6+6=
5 3+5=4+5=5+5=
4 4+4=

6. Составить таблицу сложения в 16-ой системе (В таблице все числа записаны в шестнадцатеричной системе)
56789ABCDEF
1 1+91+A1+B1+C1+D1+E1+F
2 2+82+92+A2+B2+C2+D2+E2+F
3 3+73+83+93+A3+B3+C3+D3+E3+F
4 4+64+74+84+94+A4+B4+C4+D4+E4+F
55+55+65+75+85+95+A5+B5+C5+D5+E5+F
6 6+66+76+86+96+A6+B6+C6+D6+E6+F
7 7+77+87+97+A7+B7+C7+D7+E7+F
8 8+88+98+A8+B8+C8+D8+E8+F
9 9+89+99+A9+B9+C9+D9+E9+F
A A+9A+AA+BA+CA+DA+EA+F
B B+AB+BB+CB+DB+EB+F
C C+BC+CC+DC+EC+F
D D+CD+DD+ED+F
E E+DE+EE+F
F F+EF+F


7. Выполните действия в 16-ричной системе счисления, пользуясь таблицами сложения, полученными к задачам 3,4 и правилами сложения "в столбец", известными Вам еще с начальной школы.
FFFF+1996-BAC

8. Выполните преобразования чисел последовательно из десятичной системы в 16-ричную, затем полученное 16-ричное число преобразуйте в двоичную систему счисления, полученное двоичное число преобразуйте в 8-ричную систему счисления, полученное 8-ричное число преобразуйте опять в десятичную систему. Записывайте для проверки преподавателем ход решения при перевода чисел из системы в систему. Результаты изобразите в таблице, со следующими заголовками столбцов:
"10-тичная ->", "16-ричная ->", "2-ичная ->", "8-ричная ->", "10-тичная"
В таблицу поместите следующие числа:
2, 8, 10, 16, 4, 64, 100, 256, 5, 65, 101, 257, 1024, 1025.

9. Выполните преобразования чисел последовательно из 16-ричной системы в 10-ичную. Затем полученное 10-ичное число преобразуйте в 8-ричную систему счисления. Полученное 8-ричное число преобразуйте в 2-ичную систему счисления. Полученное 2-ичное число преобразуйте опять в 16-ричную систему. Записывайте для проверки преподавателем ход решения при перевода чисел из системы в систему.
Результаты изобразите в таблице:
"16-ричная -> 10-тичная -> 8-ричная -> 2-ичная -> 16- ричная"
В таблицу поместите следующие числа:
F16 , FF16 , FFFF16 , 1016 , 10016 , 1000016.

10. Запишите в разных системах счисления с основанием (2,3,5,8,16) в точном виде, как число с фиксированной запятой с конечным числом цифр, или в виде периодической дроби результаты следующих простых арифметических действий:
1/2, 1/3, 1/5, 1/8, 1/16, 2/3, 3/5, 5/8, 1/9

11. Несложную периодическую дробь можно перевести в правильную дробь, поместив в знаменатель период, а в числитель число, полученное из цифр 9, взятых столько раз, сколько имеется цифр в периоде числа.
Примеры:
0,(3)=3/9=1/3
0,(15)=15/99=5/33
Тот же принцип верен для любой системы счисления, только вместо цифры 9 необходимо брать "максимальную" цифру системы счисления.
Примеры:
0,(01001)2 =010012 /111112 =9/63=1/7 8
0,(1F)16 =1F16 /FF16 =31/(162 -1)
0,(21)3 =213 /223 =7/8
Запишите в виде отношения двух натуральных чисел значения следующих периодических дробей, используя для записи сначала ту же систему счисления, в которой изображена сама периодическая дробь, затем десятичную систему счисления. Проверьте, нельзя ли упростить полученную правильную дробь.
0,(1)2 , 0,(10) 2, 0,(1)3 , 0,(10) 3 , 0,(1)5 ,0,(10) 5 , 0,(1)8, 0,(10) 8 ,0,(1) , 0,(10) , 0,(1)16 , 0,(10)16 , 0,(2)3, 0,(20) 3 , 0,(4)5 , 0,(40) 5,0,(7)8 , 0,(70)8 , 0,(9) , 0,(90) , 0,(F)16, 0,(F0) 16.

12. Уже в средней школе обучают: Чтобы перевести число, записанное большим количеством цифр, из двоичной системы счисления в восьмеричную систему, нужно сгруппировать подряд по три цифры, считая от запятой, отделяющую целую часть, и отдельно перевести двоичные числа, полученные из цифр каждой группы, в восьмеричные числа, каждое из которых выражается только одной восьмеричной цифрой. Записанные в том же порядке эти восьмеричные цифры образуют искомую восьмеричную запись числа. Можно ли подобрать похожие правила для перевода чисел из троичной системы в девятичную?

13. Используя правила умножения целых чисел “в столбик” возведите в квадрат шестнадцатеричное число, состоящее из 15 единиц: 11111111111111116, выполняя действия и получая результат в той же (шестнадцатеричной) системе счисления. Если Вы не знаете, как это сделать возведите в квадрат десятичное число: 111 111 111 выполняя действия в десятичной системе. Решение послужит Вам подсказкой к исходной задаче.
Опубликовано:17/01/2000
Автор:ВШБ
Читателей:978

Оценка статьи: ОтвратительноУжасноПлохоСреднеХорошоПохвальноОтличноПревосходноПрекрасноВеликолепно! [Голосов: 3]



Новости науки Первый растительный препарат от аллергии готовят сибирские
Первый растительный препарат от аллергии готовят сибирские
Новое растительное вещество открыли ученые из Сибирского государственного медицинского университета. Оно способно не просто подавлять симптомы аллергии, а блокировать аллергический
Новости науки В Якутии обнаружили замороженных детенышей пещерного льва
В Якутии обнаружили замороженных детенышей пещерного льва
В мире есть единственная пара замороженных и целых детенышей пещерного льва, и обнаружили находку в России! 12 августа 2015 года нашли на берегу реки Уяндина в Абыйском районе Якутии в 57-ти
Новости науки Для чего необходим исторический макет?
Для чего необходим исторический макет?
С помощью исторических макетов воссоздается конкретная картина событий или архитектуры определенного периода времени. Исторический макет используется в основном в исторических, военных и историко-археологических музеях, при этом зачастую выполняется в виде диорамы. На диораме могут быть отображены самые мелкие детали
Новости науки Новый вид многоножек обнаружили российские ученые
Новый вид многоножек обнаружили российские ученые
Ученые России обнаружили новый вид многоножек на территории биосферного Алтайского заповедника. Не только сохраняются на охраняемых природных территориях уже известные виды науке, но и
Новости науки Уникальный нанопластырь изобрели российские ученые
Уникальный нанопластырь изобрели российские ученые
Российские ученые изобрели то, что может некоторые процессы в хирургии изменить почти до неузнаваемости. С другой стороны эту новинку, очевидно, все и с удовольствием будут использовать, и в
Новости науки Компьютерные презентации в изучении исторических фактов
Компьютерные презентации в изучении исторических фактов
Для познавательной мотивации учащихся на изучение истории и раскрытия творческого потенциала эффективно применяются с целью обучения презентации, которые создаются на основе компьютерных технологий. В современном мире компьютерные технологии имеют большие возможности для развития в образовании, в том числе с целью
БиоМозаика Обезьяньи страсти
Обезьяньи страсти
У орангутангов, человекообразных
обезьян, самки часто крадут чужих детёнышей. Биологический Клонирование
Клонирование
Острые дискуссии вызвала серия опытов по клонированию млекопитающих, начиная в конце 90-х гг. ХХ в. Растения и
БиоМозаика Самая маленькая лягушка в мире
Самая маленькая лягушка в мире
На территории национального парка Ману, который находится в южно-восточной части Перу, специалисты,
Из старых журналов Атеросклероз и питание
Атеросклероз и питание
В наш век широко распространились заболевания сердечно-сосудистой системы, и прежде всего склероз. Среди
Личность в истории Карл Великий (742-814)
Карл Великий (742-814)
Король франков с 768 г., римский император с 800 г., сын Пипина Короткого, внук Карла Мартелла. Получил
Линия времени 928-586 до н.э.
928-586 до н.э.
Существование Иудейского царства со столицей в Иерусалиме. Захвачено вавилонским царем Навуходоносором
БиоМозаика Друзья человека
Друзья человека
Примерно половина из опрошенных социологами службы "Мнение" москвичей держат в доме четвероногого друга.
Линия времени 1813-1781 до н.э. Правление ассирийского царя Шамши-Адада II.
1813-1781 до н.э. Правление
Изначально Шамши-Адад I правил в городе Шубат-Эллиль, а власть в Ашшуре захватил лишь через несколько лет
Хочу все знать Жаркие и холодные области
Жаркие и холодные области
В некоторых областях Земли как бы усредненная погода и климат гораздо жарче, чем в других. Главная причина