Тринадцать поучительных упражнений по системам счислений

Нравится Тринадцать поучительных упражнений по системам счислений
Знаменский В.С.

Данный набор упражнений, предназначен для того, чтобы дать представление о системах счисления, причем, как предполагает автор, эти упражнения приведут учащегося к личным небольшим открытиям, если учащийся будет сопоставлять полученные решения. Хотя некоторые моменты теории имеют объяснение в тексте, предполагается, что ученик уже получил формальное представление об операциях, которые необходимо выполнить для решения задач, например для перевода чисел из одной системы счисления в другую. Упражнения должны превратить формальные знания в понимание предмета. Для этого нужно решать задачи разных типов, и в данном наборе упражнений две или большее количество подобных друг другу задач приводятся для того, чтобы учащийся, сопоставив их решения, получил наглядную картину, раскрывающую некоторую закономерность. Поэтому при выполнении упражнений не нужно пренебрегать простыми, на первый взгляд, задачами, а доводить решение до конца, анализируя получаемые ответы.
Упражнениями можно пользоваться при занятиях как индивидуально, так и с преподавателем, который будет проверять правильный ход решения задач.
Данные упражнения знакомят с системами счисления. Мы будем придерживаться такого порядка, при обозначении чисел, что признак системы счисления внизу справа от числа для десятичной системы счисления не ставится, а для остальных - ставится. Рекомендуем применять принятые в русском языке названия чисел только к десятичной системе счисления, т.е. 10 десятичное - это “десять”. Числа, представленные в других системах счисления, рекомендуем называть, просто перечисляя цифры, стоящие в числе, слева направо, например 108 называть "один ноль в восьмеричной системе счисления"
Чтобы приступить к пониманию систем счисления, нужно четко осознать различие между числом и цифрой. Запись любого числа в форме с фиксированной запятой состоит из цифр и одной запятой. В десятичной системе для записи чисел используются 10 цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Числа в n-ричной системе счисления записываются с помощью n цифр. В n-ричной системе счисления число “n” носит название основания системы счисления. В 16-ричной системе счисления для получения 16 цифр кроме традиционных цифр используют первые буквы латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Каждой цифре сопоставляется ее числовое значение. Для традиционных десяти цифр числовое значение цифры и сама цифра обозначаются одинаковыми словами: ноль, один, два и т.д. Цифры A, B, C, D, E, F имеют числовые значения, выраженные в 10-ой системе счисления, соответственно как 10, 11, 12, 13, 14, 15. При написании числа запятая разделяет целую и дробную часть числа. Положение цифры в числе, относительно запятой, называется позицией. Позиция, находящаяся сразу слева от запятой нумеруется числом 0, а справа от запятой числом -1. Номера позиции возрастают на 1 при движении от цифры к цифре вдоль числа справа налево. Каждой позиции в числе можно сопоставить число, называемое весом позиции. Возьмите номер позиции как степень и возведите в эту степень основание системы счисление и получите вес позиции. Значение числа получается, как сумма величин, каждая из которых вычисляется умножением числового значения цифры, стоящей в числе на некоторой позиции, на вес этой позиции. Если к числу, которое выражается одной цифрой, имеющей максимальное, среди всех цифр данной системы счисления, значение, прибавить 1, то получится число, запись которого, независимо от системы счисления, выглядит как "10".
Рекомендации к выполнению упражнений:
1. Нужно делать все упражнения подряд, доводя решение до конца.
2. После получения решения, следует проанализировать, нельзя ли было получить решение более простым методом, чем был использован вначале.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Составить таблицу, показывающую, как записываются целые числа в различных системах счисления, с основаниями 10,2,3,8,16. В таблице показать натуральные числа, стоящие подряд от 1 до 16, затем числа 27,32,1023,1024.
2. Решите задачу "Найти двузначное число (состоящее из двух цифр) сумма цифр которого в два раза меньше самого числа" в различных системах счисления (по основанию 2,3,5,8,10,16).
3. Составить таблицу, показывающую, как записываются рациональные числа в форме с "фиксированной запятой" в различных системах счисления, с основанием 10,2,3,8,16. Рассчитать и поместить в таблицу следующие величины:
0.1, 0.2, 0.5, 0.15, 0.16, 0.27, 0.32, 0.1023, 0.1024, 1/3, 0.125, 0.0625,
4. Перевести число из 16-ой системы счисления в двоичную систему счисления.
1) 1996 , 2) 1A2B , 3)FFFF , 4) C87,543 , 5)D00,00E , 6) 110,101 .
01234567
100+10=1+10=2+10=3+10=4+10=5+10=6+10=7+10=
7 1+7=2+7=3+7=4+7=5+7=6+7=7+7=
6 2+6=3+6=4+6=5+6=6+6=
5 3+5=4+5=5+5=
4 4+4=

6. Составить таблицу сложения в 16-ой системе (В таблице все числа записаны в шестнадцатеричной системе)
56789ABCDEF
1 1+91+A1+B1+C1+D1+E1+F
2 2+82+92+A2+B2+C2+D2+E2+F
3 3+73+83+93+A3+B3+C3+D3+E3+F
4 4+64+74+84+94+A4+B4+C4+D4+E4+F
55+55+65+75+85+95+A5+B5+C5+D5+E5+F
6 6+66+76+86+96+A6+B6+C6+D6+E6+F
7 7+77+87+97+A7+B7+C7+D7+E7+F
8 8+88+98+A8+B8+C8+D8+E8+F
9 9+89+99+A9+B9+C9+D9+E9+F
A A+9A+AA+BA+CA+DA+EA+F
B B+AB+BB+CB+DB+EB+F
C C+BC+CC+DC+EC+F
D D+CD+DD+ED+F
E E+DE+EE+F
F F+EF+F


7. Выполните действия в 16-ричной системе счисления, пользуясь таблицами сложения, полученными к задачам 3,4 и правилами сложения "в столбец", известными Вам еще с начальной школы.
FFFF+1996-BAC

8. Выполните преобразования чисел последовательно из десятичной системы в 16-ричную, затем полученное 16-ричное число преобразуйте в двоичную систему счисления, полученное двоичное число преобразуйте в 8-ричную систему счисления, полученное 8-ричное число преобразуйте опять в десятичную систему. Записывайте для проверки преподавателем ход решения при перевода чисел из системы в систему. Результаты изобразите в таблице, со следующими заголовками столбцов:
"10-тичная ->", "16-ричная ->", "2-ичная ->", "8-ричная ->", "10-тичная"
В таблицу поместите следующие числа:
2, 8, 10, 16, 4, 64, 100, 256, 5, 65, 101, 257, 1024, 1025.

9. Выполните преобразования чисел последовательно из 16-ричной системы в 10-ичную. Затем полученное 10-ичное число преобразуйте в 8-ричную систему счисления. Полученное 8-ричное число преобразуйте в 2-ичную систему счисления. Полученное 2-ичное число преобразуйте опять в 16-ричную систему. Записывайте для проверки преподавателем ход решения при перевода чисел из системы в систему.
Результаты изобразите в таблице:
"16-ричная -> 10-тичная -> 8-ричная -> 2-ичная -> 16- ричная"
В таблицу поместите следующие числа:
F16 , FF16 , FFFF16 , 1016 , 10016 , 1000016.

10. Запишите в разных системах счисления с основанием (2,3,5,8,16) в точном виде, как число с фиксированной запятой с конечным числом цифр, или в виде периодической дроби результаты следующих простых арифметических действий:
1/2, 1/3, 1/5, 1/8, 1/16, 2/3, 3/5, 5/8, 1/9

11. Несложную периодическую дробь можно перевести в правильную дробь, поместив в знаменатель период, а в числитель число, полученное из цифр 9, взятых столько раз, сколько имеется цифр в периоде числа.
Примеры:
0,(3)=3/9=1/3
0,(15)=15/99=5/33
Тот же принцип верен для любой системы счисления, только вместо цифры 9 необходимо брать "максимальную" цифру системы счисления.
Примеры:
0,(01001)2 =010012 /111112 =9/63=1/7 8
0,(1F)16 =1F16 /FF16 =31/(162 -1)
0,(21)3 =213 /223 =7/8
Запишите в виде отношения двух натуральных чисел значения следующих периодических дробей, используя для записи сначала ту же систему счисления, в которой изображена сама периодическая дробь, затем десятичную систему счисления. Проверьте, нельзя ли упростить полученную правильную дробь.
0,(1)2 , 0,(10) 2, 0,(1)3 , 0,(10) 3 , 0,(1)5 ,0,(10) 5 , 0,(1)8, 0,(10) 8 ,0,(1) , 0,(10) , 0,(1)16 , 0,(10)16 , 0,(2)3, 0,(20) 3 , 0,(4)5 , 0,(40) 5,0,(7)8 , 0,(70)8 , 0,(9) , 0,(90) , 0,(F)16, 0,(F0) 16.

12. Уже в средней школе обучают: Чтобы перевести число, записанное большим количеством цифр, из двоичной системы счисления в восьмеричную систему, нужно сгруппировать подряд по три цифры, считая от запятой, отделяющую целую часть, и отдельно перевести двоичные числа, полученные из цифр каждой группы, в восьмеричные числа, каждое из которых выражается только одной восьмеричной цифрой. Записанные в том же порядке эти восьмеричные цифры образуют искомую восьмеричную запись числа. Можно ли подобрать похожие правила для перевода чисел из троичной системы в девятичную?

13. Используя правила умножения целых чисел “в столбик” возведите в квадрат шестнадцатеричное число, состоящее из 15 единиц: 11111111111111116, выполняя действия и получая результат в той же (шестнадцатеричной) системе счисления. Если Вы не знаете, как это сделать возведите в квадрат десятичное число: 111 111 111 выполняя действия в десятичной системе. Решение послужит Вам подсказкой к исходной задаче.
Опубликовано:17/01/2000
Автор:ВШБ
Читателей:1094

Оценка статьи: ОтвратительноУжасноПлохоСреднеХорошоПохвальноОтличноПревосходноПрекрасноВеликолепно! [Голосов: 3]



Новости науки В Сибири вывели фиолетовую пшеницу
В Сибири вывели фиолетовую пшеницу
Ученые Института генетики и цитологии СО РАН вывели пшеницу фиолетового цвета. Главная особенность самой культуры – устойчивость к неблагоприятным природным условиям. Помимо этого,
Новости науки Ученые рассчитывают победить рак с помощью четырех открытий
Ученые рассчитывают победить рак с помощью четырех открытий
4 февраля - во всем мире это День борьбы против онкологических заболеваний. Методы диагностики и лечения самые передовые, которые открывают перспективу справиться с болезнью века,
Новости науки Шезлонг для дачи и загородного дома: как сделать верный выбор
Шезлонг для дачи и загородного дома: как сделать верный выбор
Приятное расслабление в тени фруктовых деревьев в комфортном шезлонге - не это ли мечта уставшего от суеты мегаполиса горожанина? С наступлением лета все больше жителей устремляются на дачные участки, желая насладиться общением с природой. Удобная и практичная мебель для дачи - непременный атрибут летнего отдыха, поэтому к
Новости науки Физики из МГУ вырастили органические полупроводниковые
Физики из МГУ вырастили органические полупроводниковые
Органические полупроводниковые кристаллы, имеющие высокую светоизлучательную способность, вырастили на физическом факультете МГУ. Использовать можно новые материалы для создания
Новости науки Первый растительный препарат от аллергии готовят сибирские
Первый растительный препарат от аллергии готовят сибирские
Новое растительное вещество открыли ученые из Сибирского государственного медицинского университета. Оно способно не просто подавлять симптомы аллергии, а блокировать аллергический
Новости науки Учебник по русскому языку за 5-6 класс Ладыженская, Баранов, Тростенцова
Учебник по русскому языку за 5-6 класс Ладыженская, Баранов, Тростенцова
Русский язык 5 класс Ладыженская, Баранов, Тростенцова Для пятиклассника учеба становится уже испытанием. Это происходит потому, что ребенок покидает начальную школу, и с начала учебного года появляются новые предметы, преподаются они по-другому, да и требования становятся более высокими. Это стресс, и все вокруг это
Личность в истории Тимур (1336-1405)
Тимур (1336-1405)
Полководец, эмир в 1370-1405 гг., создатель огромной державы с центром в Средней Азии. Был правителем
Биологический Закономерности онтогенеза
Закономерности онтогенеза
В XIX веке немецкие натуралисты Эрнст Геккель (1834-1919) и Фриц Мюллер (1821-1897) сформулировали биогенетический
БиоМозаика Кот – изобретатель
Кот – изобретатель
Оказывается, что обыкновенный кот был "соавтором" открытия йода. В 1811 году Бернард Куртуа проводил
Словарь Игра (game)
Игра (game)
1. В теории игр - модель поведения двух противоположных сторон. Различают антагонистические и
История 1981 представлен IBM PC (IBM 5150) - компьютер на основе процессора Intel-8088
1981 представлен IBM PC (IBM 5150) -
В августе народу является IBM PC (IBM 5150) - компьютер на основе процессора Intel-8088 с частотой 4,77 МГц,
История 1949 Морис Уилкис разрабатывает TDSAC - первый электронный цифровой компьютер
1949 Морис Уилкис разрабатывает
Морис Уилкис разрабатывает TDSAC - первый электронный цифровой компьютер, сохраняющий программу в своей
Личность в истории Лорис-Меликов М. Т. (1825-1888)
Лорис-Меликов М. Т. (1825-1888)
Государственный и военный деятель России, генерал-адъютант. Из дворян Тифлисской губернии. Участвовал в
БиоМозаика Самая большая улитка
Самая большая улитка
Самая большая из найденных, взвешенных и обмеренных улиток относилась к виду Syrinx aruanus. Этот огромный
Хочу все знать Грозы
Грозы
Грозы называют также электрическими бурями. Они случаются в тех случаях, когда дождевые капли и градины, с